Densité de \(A\) dans \(E\)
L'
Adhérence de \(A\) est \(E\).$$\overline A=E$$
- caractérisations :
- N'est disjoint avec aucun Voisinage (on peut utiliser une Base de voisinages) $$\begin{align}\forall x\in E,\forall V\in\mathcal V(x),\quad &V\cap A\ne\varnothing\\ \forall x\in E,\forall V\in{\mathcal B}_x,\quad &V\cap A\ne\varnothing \end{align}$$
N'est disjoint avec aucun Ouvert non vide (on peut utiliser une Base) $$\begin{align}\forall U\in\tau,\quad& U\ne\varnothing\implies U\cap A\ne\varnothing\\ \forall U\in{\mathcal B},\quad&U\ne\varnothing\implies U\cap A\ne\varnothing\end{align}$$
\(\mathring{(A^C)}=\varnothing\)
- on dit que \(A\subset E\) est dense dans \(F\subset E\) si \(A\) est dense dans \(F\) pour la Topologie induite
- caractérisation : \(F\subset\overline A^E\)
Questions de cours
START
Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Donner un contre-exemple qui montre que, pour la topologie induite, la densité de \(A\) dans \(F\) n'est pas équivalente à \(\overline A^E=F\).
Verso: On prend \(F=]0,1[\) et \(A={\Bbb Q}\cap]0,1]\).
\(A\) est bien dense dans \(F\), mais \(\overline A^E=[0,1]\ne F\).
Bonus:
END
START
Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Si \(A\) est dense dans \(X\) que dire de \(X\setminus A\) ?
Verso: Il est d'intérieur vide.
Bonus:
Carte inversée ?:
END
